一个帮助我们理解投资的数学游戏

这篇文章是多年前我自己写的备忘录，那个时候我也认认真真读了几十本关于投资方面的书，也解决了很多疑惑，最近看到有朋友在帖子里提到风险与收益的关系，就翻出这篇旧文，供大家参考：

投资领域里，有一些很基础的问题需要我们反复理解，比如：

• 为什么看好后市，却不满仓
• 涨了为什么不卖，做个 T 等跌下来再买回不是降低成本了吗
• 为什么长时间内股债平衡的策略收益率会大于满仓
• 为什么说 51%的择时正确率是不够的，需要 74%才可以
• 为什么频繁交易的人大多数会赔钱

为了向小白们解释明白这些道理，同时为了引流，各路自媒体创作了数以万计的文章 :)

最近在一文中读到了一个数学游戏非常有意思，个人觉得对于理工科人士来说，千言万语不如做道数学题来的有效；当然，这是一种理想假设，能帮助我们提高认识，但切切不能刻舟求剑；

好吧，假如有个赌场提供了这么一个你可以玩无穷多次的游戏：

扔一个硬币，若正面向上，则你的资产变成当下的 1.2 倍；若反面向上，则你的资产变成当下的 0.83 倍。你会选择玩这个游戏吗？

我们先用中学数学来分析一下

分析 1：基于期望的分析

不论我玩的时候的本金 m 是多少，玩下一次的时候，收益的期望总是:

m * (1.2 - 1) * 1 / 2 + m * (0.83 - 1) * 1 / 2 = 0.03m

因为赢钱的时候赢 0.2 总是大于赔钱的时候赔 -0.17 ，所以期望总是正的，那就应该玩，而且要一直玩无限多次。

分析 2：基于概率的分析

若一直玩下去，就会有赢有输，所以应该把 1.2 和 0.83 乘起来看是否大于 1 。结果是 1.2*0.83=0.996 ，小于 1 ，因此久赌必输，不能玩。

好了，以上两种分析，你同意哪一种呢？

跑个 python 就很容易模拟:

# 每次满仓
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
P = 100 # Number of players
N = 1000 # Total times played for one player
win = 1.2
lose = 0.83
Num_of_winner = 0
Money_of_the_luckiest_winner = 0.0
 
for j in range(P):
    m = np.zeros(N)
    m[0] = 100.0
    for i in range(1,N):
        if np.random.randint(2):
            m[i] = m[i-1]*win
        else:
            m[i] = m[i-1]*lose
 
    if m[-1]>m[0]:
        Num_of_winner += 1
    if m[-1]>Money_of_the_luckiest_winner:
        Money_of_the_luckiest_winner = m[-1]
    plt.plot(m)
 
 
print("获胜人数：{}".format(Num_of_winner))
print("最大赢家资金：{}".format(Money_of_the_luckiest_winner))
plt.xlabel('Times played')
plt.ylabel('Money')
plt.show()

运行多次之后就会发现：其中绝大多数玩家的资产都几乎归零了！

数学分析

实践证明，看起来分析 1 是错误的，分析 2 是正确的；如何证明呢？

https://zhuanlan.zhihu.com/p/103297941

用凯利公式控制仓位

再细想一下，这个游戏其实完全契合我们的凯利公式投资大法；

其中 p 为赢的概率 (0.5)，q=1-p 为输的概率 (0.5)，W 为赢的情况下的赔率 (0.2)，L 为输的情况下的赔率 (0.17)。在这个游戏中，计算得知最佳投注比例 K 约为 0.44 。

代码验证如下：

# 凯利公式控制仓位
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
P = 100 # Number of players
N = 1000 # Total times played for one player
win = 1.2
lose = 0.83
Num_of_winner = 0
Money_of_the_luckiest_winner = 0.0
 
W = abs(win-1)
L = abs(lose-1)
Kelly_percentage = (0.5*W-0.5*L)/(W*L)
print("投注最佳仓位:{}".format(Kelly_percentage)) # is about 0.44 in our case
 
for j in range(P):
    m = np.zeros(N)
    m[0] = 100.0
    for i in range(1,N):
        if np.random.randint(2):
            m[i] = m[i-1]*win*Kelly_percentage + m[i-1]*(1-Kelly_percentage)
        else:
            m[i] = m[i-1]*lose*Kelly_percentage + m[i-1]*(1-Kelly_percentage)
 
    if m[-1] > m[0]:
        Num_of_winner += 1
    if m[-1] > Money_of_the_luckiest_winner:
        Money_of_the_luckiest_winner = m[-1]
    plt.semilogy(m)
 
 
print("获胜人数：{}".format(Num_of_winner))
print("最大赢家资金：{}".format(Money_of_the_luckiest_winner))
plt.xlabel('Times played')
plt.ylabel('Money')
plt.show()

一些结论

反复运行这两个例子的模拟代码是件很有意思的事情，虽然这个游戏是个物理实验中的理想环境，真实的世界复杂的多，我们也不能精确的判定一项投资的胜率、赔率......

但是这个小游戏无疑解答了很多问题：

为什么看好后市，却不满仓?

因为后市可能涨 20%，却有可能赔 17%；看起来挣钱的可能性大，但其实这种事做多了资金归零的概率更大；

涨了为什么不卖，做个 T 等跌下来再买回不是降低成本了吗

因为涨 20%，跌 17%的概率相等时，做 T 是赔的；做的越多，赔的越快

为什么长时间内股债平衡的策略收益率会大于满仓

这相当于被动执行了凯利公式

为什么说 51%的择时正确率是不够的，需要 74%才可以

51%的胜率会有少数人大赚，但多数人还是赔光； 需要一个足够高的胜率才能保证大多数人平分收益；目前在真实的市场中，统计结果看来要>70%的胜率才可以;换句话说，你有七成的把握择时或择股，才能去做 T 或买个股，不然就只能老老实实买宽基指数；

为什么频繁交易的人大多数会赔钱

因为大赚的人少，大多数人是分母

备忘录

1. 单个参与者单次数学期望为正，不代表所有参与者收益为正
2. 单次统计数学期望为正只是基本条件，还需要统计 2 次，3 次...多次的数学期望
3. 单词数学期望为正，>2 次数学期望为负，会产生赢家通吃的结果，虽然总体计算盈利，但大多数人会亏
4. 仓位控制得当，所有参与者就可能均分利益
5. 控制仓位的最佳方法是凯利公式
6. 要永远警惕那些看起来期望为正，胜率却不够高的游戏；比如择时择股胜率超过 50%的明星基金，但 50%的胜率其实远远不够
7. 少交易，能够提高胜率；或者反过来理解，交易的越多，好运气消耗的越快；越耐心，好运气积累的越多；

写在最后

读了很多书，实践了很多次，学了很多道理之后，我才发现，巴菲特都说了无数遍了，普通人最好的办法就是标普 500 和美债各自配一个比例，然后动态再平衡，这真是掏心窝子的金玉良言，但是我等凡人总觉得能比巴菲特强；

巴菲特的建议换算到咱们国内，最简单的处理办法就是：找一个长期向上的宽基指数(比如中证红利)，以及综债指数(比如国开债 5 年指数)，然后 5:5 配置，每年动态再平衡，这样就相当于被动执行了凯利公式；

就承认自己的平凡吧，最后再说一个上限吧，打击一下我们的暴富心理；

芒格说长期市场的收益会趋近于 ROE ，这个值是 12%；就是无论你做什么买卖，什么投资，即使将来发明了长生不老药，如果自由竞争，这个买卖的长期收益就是年化 12%；

这个星球上最牛的巴菲特，1964-2024 ，年化 22%-23%；

彼得林奇，1977-1990 ，年化 29%；

可能不同的统计方法会有一定误差，但这就是这个星球上最厉害的投资者，换算到篮球界就是乔丹科比的存在；

相信很多人都对自己的篮球技能有很清醒的估计，我们是怎么练也达不到乔丹的水平的；但是还是会有人跳出来说，巴菲特那是大资金，他自己也说过资金小了能年化 50%，或者 A 股市场特殊性，年化 20%不难等等...

其实我们可以问自己，篮球场上，我跟乔丹差多少？难道他场均 30+10+5 ，我就能场均 10+5+3 吗？投资领域里面残酷的是，有很多职业选手和很多业余选手同场竞技，而且一般职业选手的装备更精良。

做个简单的总结：比较成功的长期(>15 年)投资收益分界线是：

1. 青铜: 年化 2~6%；银行理财，债券，货基，存款等等
2. 白银: 年化 8%；比较稳健的资产配置，合理分配股票、债券、货基、理财等仓位
3. 黄金: 年化 10%； 一般极有耐心的投资者，定投指数 7 年以上达成此成就
4. 大师: 年化 12%；黄金级选手智慧加成，此类投资者已然傲视群雄
5. 史诗: 年化 15%；不说了，基金公司抢着要你；
6. 传说：年化>20% ； 天赋+耐心+运气，你是这个星球上的 TOP100 ；